ПЛОСКА ЗАДАЧА МЕХАНІКИ СУЦІЛЬНОГО СЕРЕДОВИЩА В ПОЛЯРНИХ КООРДИНАТАХ З ВИКОРИСТАННЯМ АРГУМЕНТ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО

Анотація

Розглянуті загальні підходи до рішення плоскої задачі механіки суцільного середовища, які пройшли успішну апробацію в теорії пластичності, пружності, динамічних задачах теорії пружності. На основі методів аргумент функцій та комплексного змінного розроблені нові підходи до визначення компонентів тензору напружень в полярних координатах. Для розв’язання плоскої задачі використано системи рівнянь рівноваги. Запропоновано фундаментальне підставлення. Показано використання тригонометричного підставлення, яке пов’язує інтегральні характеристики напруженого стану з компонентами тензору напружень. Введено до розгляду аргумент функції базових змінних. При підставленні до диференційних рівнянь сформовано оператори, які характеризуються цими аргумент функціями, виконуючі роль своєрідного регулятора пошуку. В результаті цього, визначені закономірності існування розв’язків у вигляді інваріантних співвідношень Коші–Рімана та рівнянь Лапласа. Отриманий результат зручно застосовувати для спрощення, що дозволяє лінеарізувати граничні умови. В розв’язаннях використовують узагальнюючі співвідношення в диференційній формі для конкретних функцій — функцій гармонічного типу. Тригонометрична форма епюри дотичних напружень фактично підтверджена теоретичними та експериментальними даними. Отримані розв’язки, які визначають не самі функції, а умови їх існування з використанням диференційних співвідношень Коші–Рімана. Розв’язки є загальнішим випадком з тією особливістю, що представлено не у вигляді добутку функцій, кожна з яких визначається однією координатою, а добутком різних функцій, одночасно залежних від двох координат. Зіставлення отриманих результатів з розв’язками інших авторів показує, що представлене розв’язання після нескладних перетворень можливо спростити та розглядати отриманий розв’язок як більш узагальнений.