ЗАКОН ПЕРЕТВОРЕННЯ КОЕФІЦІЄНТІВ РЯДУ ФУР’Є ПРИ ВІДОБРАЖЕННІ НЕПЕРЕРВНОЇ ФУНКЦІЇ В РОЗРИВНУ ПЕРШОГО РОДУ

Анотація

Досліджено окремі властивості нескінченновимірного лінійного гільбертового простору 2π-пері­о­дичних функцій, побудованого над множиною дійсних чисел, із заданим в ньому скалярним добутком двох функцій. У зв’язку з цим, визначено закон перетворення коефіцієнтів тригонометричного ряду Фур’є при трансформації неперервної на періоді функції в розривну першого роду. Для розв’язання поставленої задачі використано окремі класичні положення математичного та функціонального аналізів. В процесі розв’язання задачі доведено, що зазначений математичний закон має складну структуру і є композицією двох множинних законів відображення. Для розкриття першого закону здійснено альтернативне розкладання розривної функції в тригонометричний ряд Фур’є з використанням базису, де за орти слугують розривні тригонометричні функції з ортогонального базису вихідної неперервної функції. Бієктивне зіставлення сформованих особливим чином підмножин з множини отриманих за такого підходу коефіцієнтів Фур’є з коефіцієнтами Фур’є, визначеними для тієї ж розривної функції, але в традиційний спосіб, дозволив аналітично розкрити і другий із законів відображення. Для зручності сприйняття інтерпретацію кожного з математичних законів відображення та їх композицію представлено не тільки в аналітичній, але і в графічній формах подання. Зазначена математична задача постає і потребує свого розв’язання насамперед під час проведення спектрального аналізу періодичного руху континуальних фізичних і технічних динамічних систем при перериванні та дискретизації їхнього руху в просторі та часі. Отримані розв’язки виявляють себе як математичні моделі, які дозволяють перетворювати параметри неперервного руху в перервний без здійснення операції інтегрування, тобто у прямий спосіб, що є перевагою запропонованого підходу порівняно з вже відомими. Самі ж математичні моделі на сьогодні є затребуваними в численних додатках та інноваціях не тільки інформаційних, але і, головним чином, силових технічних систем довільної фізичної природи, що незаперечно свідчить про актуальність розв’язуваної задачі та її практичну доцільність.